Fritz Grewenig wurde in Heusweiler (Kgr. Preußen, heute Saarland) geboren und begann dort mit einer Malerlehre im Geschäft seines Vaters. Von 1909 bis 1911 besuchte Grewenig die Fachschule für dekorative Malerei in Saarbrücken. Anschließend begann er eine Ausbildung bei dem Saarbrücker Maler Richard Wenzel, bevor er ab 1913 an der Königlich Sächsischen Akademie in Dresden u. a. bei Richard Müller und Robert Sterl studierte. 1922 gründete Grewenig in seinem Saarbrücker Atelier eine private Kunstschule und schloss sich dem Saarländischen Künstlerbund an. Im Jahr 1924 wurde Grewenig Gründer der Staatlichen Schule für Kunst und Kunstgewerbe in Saarbrücken und leitete diese bis 1936 als Direktor. Nach der „Rückgliederung“ des Saargebietes an das Deutsche Reich wurden 1936 die Staatliche Schule für Kunst und Kunstgewerbe geschlossen und das Staatliche Museum aufgelöst. Grewenig wurde durch Gauleiter Josef Bürckel von seiner Position als Direktor entbunden. 1942 erhielt Grewenig Ausstellungsverbot.